Aber Szemerédis Satz sagte nichts darüber aus, wie groß eine Sammlung von Zahlen sein muss, bevor diese Muster unvermeidlich werden. Er sagte einfach, dass es eine Reihe von Zahlen gibt, von einer unbekannten Größe, die ein arithmetisches Muster der Länge enthält, die Sie suchen. Im Jahr 2001 bewies Timothy Gowers von der University of Cambridge, dass man, wenn man garantiert sein will, eine fünfjährige arithmetische Progression zu finden, eine Reihe von Zahlen braucht, die zumindest eine exakte Größe haben – und er hat genau das identifiziert, was diese Größe ist. (Tatsächlich ist die Angabe der Größe kompliziert, da es enorme exponentielle Zahlen beinhaltet.) Das bedeutet, dass das Set, das aus unseren sicheren Zügen besteht, ein Salem-Spencer-Set ist. Aber ist es maximal? Wir wissen, dass wir dieses spezielle Set nicht größer machen können, aber könnte eine andere Strategie ein größeres Set hervorbringen? Gibt es eine größere Teilmenge von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9″, die keine dreitermen arithmetischen Progressionen enthält? Durch das Studium von Mustern in Mathematik werden sich die Menschen der Muster in unserer Welt bewusst. Die Beobachtung von Mustern ermöglicht es Individuen, ihre Fähigkeit zu entwickeln, zukünftiges Verhalten natürlicher Organismen und Phänomene vorherzusagen. Bauingenieure können ihre Beobachtungen von Verkehrsmustern nutzen, um sicherere Städte zu bauen. Meteorologen verwenden Muster, um Gewitter, Tornados und Hurrikane vorherzusagen. Seismologen verwenden Muster, um Erdbeben und Erdrutsche vorherzusagen. Mathematische Muster sind in allen Bereichen der Wissenschaft nützlich. Pelus Beweis beantwortet eine quantitative Frage zu polynomiaden Progressionen. Mathematiker hoffen nun, dass sie es nutzen können, um eine andere zu beantworten — etwa, wenn polynomiade Progressionen in Sätzen erscheinen, die vollständig aus Primzahlen bestehen, die die wichtigsten Zahlen in der Mathematik sind und notorisch resistent gegen Muster sind. Vor Pelus Beweis hatten Mathematiker keine Ahnung, wie sie sich dieser Frage nähern wollten.
Muster zu finden und zu verstehen, gibt uns große Kraft. Mit Mustern können wir lernen, die Zukunft vorherzusagen, neue Dinge zu entdecken und die Welt um uns herum besser zu verstehen. “Nach Gowers, Sie wissen, dass, wenn Sie mir eine arithmetische Progression von beliebiger Länge geben, dann jede Teilmenge” von Zahlen von einer bestimmten Größe muss notwendigerweise diese Progression enthalten, sagte Peluse. “Es gibt eine Art Unzerstörbarkeit dieser Muster”, sagte Terence Tao von der University of California, Los Angeles. Denken Sie in einer arithmetischen Progression daran, dass Sie eine Startnummer auswählen und eine weitere hinzufügen. Bei der Art der polynomiaden Progressionen, die von Peluse untersucht wurden, wählen Sie immer noch einen Startwert aus, aber jetzt fügen Sie Kräfte einer anderen Zahl hinzu. Zum Beispiel: 2, 2 + 31, 2 + 32, 2 + 33, 2 + 34. Oder 2, 5, 11, 29, 83. (Ihre Progressionen hatten auch nur einen Begriff für jede Macht, eine Anforderung, die sie überschaubarer macht.) Klicken Sie für Antwort 4: Eine Strategie ist es, mit den Zahlen an den Enden zu beginnen, da sie nie die Mitte einer arithmetischen Progression sein können.
Also nehmen wir 1 und 11, was 6 als Option eliminiert. Wenden Sie die Strategie erneut an und nehmen Sie 2 und 10, wodurch 3 und 9 eliminiert werden, aber keine anderen Optionen. Von den übrigen 4, 5, 7, 8 , ist es möglich, zwei weitere zu nehmen, wie 4 und 5. Nach der obigen Tabelle ist 6 die größtmögliche Salem-Spencer-Teilmenge. Für Mathematiker besteht der wahre Spaß darin, ein einfaches Spiel über Zahlen in ein Spiel gegen Mathematik selbst zu verwandeln. Ihr Ziel ist es, herauszufinden, wie lange Sie dieses Spiel spielen können, bevor jemand verlieren muss, auf einem Spielbrett jeder Größe. Mit anderen Worten, wenn Sie eine Liste von Zahlen beliebiger Länge erhalten, wie viele Zahlen können Sie kreuzen, bevor Ihre Liste eine arithmetische Progression enthalten muss? Die Regeln klingen einfach genug, aber wir wissen die Antwort eigentlich nicht.
